Teori Bahasa dan Automata "Penerapan FSA, DFA(Deterministik Finite Automata), NFA(non deterministik Finite Automata), Ekuivalen antar DFA, Reduksi Jumalh State."

Finite State Automata (FSA)

Finite State Automata (FSA) merupakan tool yang sangat berguna untuk mengenal dan menangkap pola dalam data. Finite State Automata (FSA) adalah model matematika yang dapat menerima input dan mengeluarkan output yang memiliki state yang berhingga banyaknya dan dapat berpindah dari satu state ke state lainnya berdasarkan input dan fungsi transisi

FSA didefinisikan sebagai pasangan 5 tupel : (Q, ∑, δ, S, F).

Q : himpunan hingga state

∑ : himpunan hingga simbol input (alfabet)

δ : fungsi transisi, menggambarkan transisi state FSA akibat pembacaan simbol input.

(Fungsi transisi ini biasanya diberikan dalam bentuk tabel.)

S : state AWAL (Start)

F : himpunan state AKHIR (Final)

Karakteristik Finite Automata :

1.Setiap Finite Automata memiliki keadaan dan transisi yang terbatas.

2.Transisi dari satu keadaan ke keadaan lainnya dapat bersifat deterministik atau non-deterministik.

3.Setiap Finite Automata selalu memiliki keadaan awal.

4.Finite Automata dapat memiliki lebih dari satu keadaan akhir.

jika setelah pemrosesan seluruh string, keadaan akhir dicapai, artinya otomata menerima string tersebut.

Setiap FSA memiliki:

1. Himpunan berhingga (finite) status (state)

Satu buah status sebagai status awal (initial state), biasa dinyatakan q0.

Beberapa buah status sebagai status akhir (final state).

2. Himpunan berhingga simbol masukan

3. Fungsi transisi

Menentukan status berikutnya dari setiap pasang status dan sebuah simbol masukan.

Cara Kerja Finite State Automata :

Finite State Automata bekerja dengan cara mesin membaca memori masukan berupa tape yaitu 1 karakter tiap saat (dari kiri ke kanan) menggunakan head baca yang dikendalikan oleh kotak kendali state berhingga dimana pada mesin terdapat sejumlah state berhingga. Finite Automata selalu dalam kondisi yang disebut state awal (initial state) pada saat Finite Automata mulai membaca tape. Perubahan state terjadi pada mesin ketika sebuah karakter berikutnya dibaca. Ketika head telah sampai pada akhir tape dan kondisi yang ditemui adalah state akhir, maka string yang terdapat pada tape dikatakan diterima Finite Automata (String-string merupakan milik bahasa bila diterima Finite Automata bahasa tersebut).

Finite State Diagram (FSD)

Finite State Automata dapat dimodelkan dengan Finite State Diagram (FSD) dapat juga disebut State Transition Diagram. Sistem transisi adalah sistem yang tingkah lakunya disajikan dalam bentuk keadaan-keadaan (states). Sistem tersebut dapat bergerak dari state yang satu ke state lainnya sesuai dengan input yang diberikan padanya. Fungsi Transisi (d) adalah representasi matematis atas transisi keadaan.

S = himpunan alfabet.

Q = himpunan keadaan-keadaan.

d = Q x S à Q

Finite State Diagram terdiri dari:

1. Lingkaran menyatakan state

Lingkaran diberi label sesuai dengan nama state tersebut. Adapun pembagian lingkaran adalah:

a. Lingkaran bergaris tunggal berarti state sementara

b. Lingkaran bergaris ganda berarti state akhir

2.Anak Panah menyatakan transisi yang terjadi.

Label di anak panah menyatakan simbol yang membuat transisi dari 1 state ke state lain. 1 anak panah diberi label start untuk menyatakan awal mula transisi dilakukan.

Contoh :

1. FSA untuk mengecek parity ganjil

Misal input : 1101

Genap 1 Ganjil 1 Genap 0 Genap 1 Ganjil : diterima mesin

Misal input : 1100

Genap 1 Ganjil 1 Genap 0 Genap 0 Genap : ditolak mesin

Q ={Gnp, Gjl} himpunan state

∑ ={0,1} himpunan simbol input

δ = fungsi transisi,

S = Gnp (Start)

F = {Gjl} (Final) himpunan state AKHIR

(ingat untuk himpunan harus ditulis di dalam {} )

Dari diagram tersebut Contoh Bahasa/L(m) yang diterima adalah :

0110 (karena state akhirnya adalah finalnya state, dalam konteks ini adalah Gjl

1011 = diterima

0100 = diterima

11110 =diterima

011 = ditolak (karenan state akhirnya tidak di final state, Gnp)

11011 = ditolak

FSA berdasar pada pendefinisian kemampuan berubah state-statenya bisa dibagi menjadi 2, yaitu :

1. Deterministic (DFSA/DFA)

Pada setiap input, hanya ada satu keadaan (State) tujuan dari keadaan saat ini.

Notasi matematis DFA:

M = nama DFA

Q = himpunan keadaan DFA

S = himpunan alfabet

d = fungsi transisi

q0 = keadaan awal

F = keadaan akhir

M = (Q, S, d, q0, F)

Contoh :

Diketahui DFA :

Q = {q0, q1, q2}δ diberikan dalam tabel berikut :

∑ = {a,b}

S = q0

F = {q0,q1}

Fungsi transisi adalah:

L(M) = {abababaa, aaaabab,aabababa,…}

Penelusuran/Tracking:

Telusurilah, apakah kalimat-kalimat berikut diterima DFA di atas: abababaa, aaaabab , aaabbaba

Jawab :

δ (q0,abababaa) ⇒ δ (q0,bababaa) ⇒ δ (q1,ababaa) ⇒ δ (q0,babaa) ⇒ δ (q1,abaa) ⇒ δ (q0,baa) ⇒ δ (q1,aa) ⇒ δ (q0,a) ⇒ q0

Tracking berakhir di q0 (state AKHIR) ⇒ kalimat abababaa diterima

Kesimpulan :

Sebuah kalimat diterima oleh DFA di atas jika tracingnya berakhir di salah satu state AKHIR.

2. Non-deterministic Finite Automata (NFSA/NFA).

Pada setiap input terdapat lebih dari satu keadaan tujuan dari keadaan saat ini

Non-Deterministic Finite Automata :

• Otomata berhingga yang tidak pasti untuk setiap pasangan state input, bisa memiliki 0 (nol) atau lebih pilihan untuk state berikutnya.

• Untuk setiap state tidak selalu tepat ada satu state berikutnya untuk setiap simbol input yang ada.

• Dari suatu state bisa terdapat 0,1 atau lebih busur keluar (transisi)

berlabel simbol input yang sama.

• Untuk NFA harus dicoba semua kemungkinan yang ada sampai

terdapat satu yang mencapai state akhir.

• Suatu string x dinyatakan diterima oleh bahasa NFA, M= (Q, _, d, S, F) bila {x | d (S,x) memuat sebuah state di dalam F}

Kedua finite automata di atas mampu mengenali himpunan reguler secara presisi.Dengan demikian kedua finite automata itu dapat mengenali string-string yang ditunjukkan dengan ekspresi reguler secara tepat. DFA dapat menuntun recognizer(pengenal) lebih cepat dibanding NDFA. Namun demikian, DFA berukuran lebih besar dibanding NDFA yang ekivalen dengannya. Lebih mudah membangun NDFA dibanding DFA untuk suatu bahasa, namun lebih mudah mengimplementasikan DFA dibanding NDFA.

Contoh :

Berikut ini sebuah contoh NFA (Q, ∑, δ, S, F). dimana : Q = {q 0, q1 , q2 ,q3 , q4 }

δ diberikan dalam table berikut :

∑= {a, b,c}

S = q0

F = {q4}

∑= {a, b,c}

S = q0

F = {q4 }

Sebuah kalimat di terima NFA jika:

Salah satu tracking-nya berakhir di state AKHIR, atau himpunan state setelah membaca string tersebut mengandung state AKHIR Telusurilah, apakah kalimat-kalimat berikut diterima NFA di atas : ab, abc, aabc, aabb.

Jawab:

δ(q0 ,ab) ⇒ δ(q0,b) ∪ δ(q1 ,b) ⇒ {q0, q2} ∪ {q1 } = {q0 , q1 , q2}

Himpunan state TIDAK mengandung state AKHIR ⇒ kalimat ab tidak diterima δ(q0 ,abc) ⇒ δ(q0 ,bc) ∪ δ(q1 ,bc) ⇒ { δ(q0 ,c) ∪ δ(q2 ,c)}∪δ(q1 , c)

{{ q0 , q3 }∪{ q2 }}∪{ q1 } = {q0 , q1 , q2 ,q3 }

Himpunan state TIDAK mengandung state AKHIR ⇒ kalimat abc tidak diterima.

Ekuivalensi Antar Deterministic Finite Automata

Untuk suatu bahasa regular, kemungkinan ada sejumlah Deterministic Finite Automata yang dapat menerimanya. Perbedaannya hanyalah jumlah state yang dimiliki otomata-otomata yang saling ekuivalen tersebut. Tentu saja, dengan alasan kepraktisan, kita memilih otomata dengan jumlah state yang lebih sedikit.

Sasaran kita di sini adalah mengurangi jumlah state dari suatu Finite State Automata, dengan tidak mengurangi kemampuannya semula untuk menerima suatu bahasa.

Ada dua buah istilah baru yang perlu kita ketahui yaitu :

1. Distinguishable yang berarti dapat dibedakan.

2. Indistinguishable yang berarti tidak dapat dibedakan.

Dua DFA M1 dan M2 dinyatakan ekivalen apabila L(M1) = L(M2)

Reduksi Jumlah State Pada FSA

Reduksi dilakukan untuk mengurangi jumlah state tanpa mengurangi kemampuan untuk menerima suatu bahasa seperti semula (efisiensi). State pada FSA dapat direduksi apabila terdapat useless state. Hasil dari FSA yang direduksi merupakan ekivalensi dari FSA semula

Pasangan State dapat dikelompokkan berdasarkan:

1. Distinguishable State (dapat dibedakan)

Dua state p dan q dari suatu DFA dikatakan indistinguishable apabila:

δ(q,w) Î F dan δ(p,w) Î F atau δ(q,w) ∉ F dan δ(p,w) ∉

untuk semua w Î S*

2. Indistinguishable State ( tidak dapat dibedakan)

Dua state p dan q dari suatu DFA dikatakan distinguishable jika ada string w Î S* hingga:

δ(q,w) Î F dan δ(p,w) ∉ F

Reduksi Jumlah State Pada FSA – Relasi

Pasangan dua buah state memiliki salah satu kemungkinan adalah distinguishable atau indistinguishable tetapi tidak kedua-duanya.

Dalam hal ini terdapat sebuah relasi :

Jika p dan q indistinguishable,

dan q dan r indistinguishable

maka p, r indistinguishable

dan p,q,r indistinguishable

Dalam melakukan eveluasi state, didefinisikan suatu relasi :

Untuk Q yg merupakan himpunan semua state

D adalah himpunan state-state distinguishable, dimana D Ì Q

N adalah himpunan state-state indistinguishable, dimana N Ì Q

maka x Î N jika x Î Q dan x ∉ D

Reduksi Jumlah State Pada FSA – Step

Langkah - langkah untuk melakukan reduksi ini adalah :

1. Hapuslah semua state yg tidak dapat dicapai dari state awal (useless state)

2. Buatlah semua pasangan state (p, q) yang distinguishable, dimana p Î F dan q ∉ F.

Catat semua pasangan-pasangan state tersebut.

Cari state lain yang distinguishable dengan aturan:

Untuk semua (p, q) dan semua a Î ∑, hitunglah δ (p, a) = pa dan δ (q, a) = qa . Jika pasangan (pa, qa) adalah pasangan state yang distinguishable maka pasangan (p, q) juga termasuk pasangan yang distinguishable. Semua pasangan state yang tidak termasuk sebagai state yang distinguishable merupakan state-state indistinguishable. Beberapa state yang indistinguishable dapat digabungkan menjadi satu state. Sesuaikan transisi dari state-state gabungan tersebut. Reduksi Jumlah State Pada FSA

Contoh :

1. State q5 tidak dapat dicapai dari state awal dengan jalan apapun (useless state). Hapus state q5

2. Catat state-state distinguishable, yaitu : q4 Î F sedang q0, q1, q2, q3 ∉ F sehingga pasangan (q0, q4) (q1, q4) (q2, q4) dan (q3, q4) adalah distinguishable.

3. Pasangan-pasangan state lain yang distinguishable diturunkan berdasarkan pasangan dari langkah 2, yaitu :

Untuk pasangan (q0,q1) δ(q0, 0) = q1 dan δ(q1, 0) = q2

- belum teridentifikasi δ(q0, 1) = q3 dan δ(q1, 1) = q4

- (q3, q4) distinguishable maka (q0, q1) adalah distinguishable.

Untuk pasangan (q0, q2) δ(q0, 0) = q1 dan δ(q2, 0) = q1

- belum teridentifikasi δ(q0, 1) = q3 dan δ(q2, 1) = q4

- (q3, q4) distinguishable maka (q0, q2) adalah distinguishable.

4. Setelah diperiksa semua pasangan state maka terdapat state-state yang distinguishable : (q0,q1), (q0,q2), (q0,q3), (q0,q4), (q1,q4), (q2,q4), (q3,q4). Karena berdasarkan relasi-relasi yang ada, tidak dapat dibuktikan (q1, q2), (q1, q3) dan (q2, q3) distinguishable, sehingga disimpulkan pasangan-pasangan state tersebut indistinguishable.

5. Karena q1 indistinguishable dengan q2, q2 indistinguishable dengan q3, maka dapat disimpulkan q1, q2, q3 saling indistinguishable dan dapat dijadikan satu state.

6. Berdasarkan hasil diatas maka hasil dari DFA yang direduksi menjadi: